スイッチを入れてすぐに点灯する場合，インバータ式と言い基盤で点灯させるタイプです。
この場合は安定器の故障が考えられます。
安定器とは蛍光灯を点灯させるのに必要な変圧器のようなものです。
これが故障すると点滅したりすぐに消えたりして正常に点灯しません。

安定器だけ交換することも可能ですが電気工事士の資格が必要になり
電気屋さんだとお金がかかるので照明器具ごと交換することが多いです。

スイッチを入れて少し時間をかけて点灯する場合，
スタータ形といい別途点灯管が必要になるタイプです。
この場合は点灯管が古くなっている可能性がありますので
元々取り付いていたものと同じ型番を買って取り替えて試してください。
これでも直らない場合は安定器の故障が考えられます。