スイッチがONでもOFFでも問題ありませんが、蛍光管は外しておく方がよいです。
ところで、この器具の裏（背面）にはグロー球が無いですか？
もしかして点かなくなった原因は、蛍光管ではなくグロー球（呼び出し球）かもしれません。
であればグロー球を交換すれば点くと思います。
それから新しい器具であればインバーター方式になっていて、適合する「ＦＨＦ」と書かれた蛍光管でないと点きませんよ。
外した古い蛍光管に英字の記号があるので、それと同じものを買わないと互換性はないので、新しい蛍光管になっても点きません。