グローランプを交換してみてください。
それでも駄目な場合、グローランプ式じゃない場合は安定器の可能性を考えます。
安定器とは、蛍光灯（ランプ）の点灯を安定させるための器機で、これが古くなってくると、点滅の原因になります。
まず、別の部屋にちゃんと点く蛍光灯の照明器具があればそれを仮に付けてみてください。
その症状が出なければ安定器不良ほぼ確定です。
安定器交換は工事士の免許が必要になりますし、費用もかかります。
新しい器具を買ったほうがお勧めです。
可能性は低いと思いますが、新しい器具に変えてもダメな場合は配線不良や、器具への差し込み接触不良などが原因になりますので、電気工事業に頼んでください。